Van een plank zijn de boven- en onderkant evenwijdig. We zagen met twee rechte zaagsneden een vierhoek uit de plank. Dat kan op allerlei manieren, zoals je ziet.

  • Omdat boven- en onderkant evenwijdig zijn, krijg je een trapezium.

  • Als je de zaagsnedes in dezelfde richting maakt, krijg je een parallellogram.

  • Als je de plank beide keren haaks doorzaagt, krijg je een rechthoek.

  • Als je de zaagsneden in dezelfde richting maakt en er voor zorgt dat de vier zijden even lang worden, krijg je een ruit.

  • Als je de plank beide keren haaks doorzaagt en er voor zorgt dat de vier zijden even lang worden, krijg je een vierkant.

In het zesde plaatje is nog een bijzondere vierhoek getekend: een vlieger. Maar die zaag je niet zo gemakkelijk uit een plank. Bij een vlieger zijn twee aan elkaar grenzende zijden even lang en de andere twee aan elkaar grenzende zijden zijn ook even lang.

1

Zoek bijzondere vierhoeken in het rooster (de hoekpunten moeten roosterpunten zijn). Kleur op je werkblad de bijzondere vierhoeken die jij hebt gevonden, van elk type ten minste twee verschillende.

2
a

Er zijn een heleboel ruiten met zijden van 2 cm. Teken er twee.

b

Er zijn een heleboel vliegers met zijden van 2 en 3 cm. Teken er twee.

c

Er zijn een heleboel parallellogrammen met zijden van 2 en 3 cm. Teken er twee.

d

Er zijn een heleboel trapezia waarvan de evenwijdige zijden 2 en 3 cm zijn. Teken er twee.

Een vierhoek heeft vier hoekpunten. Vaak geven we die opvolgende hoekpunten namen, bijvoorbeeld A , B , C en D . Dan kunnen we spreken van vierhoek A B C D . Een vierhoek heeft ook vier zijden (de vier lijnstukken tussen de opvolgende hoekpunten). In het voorbeeld zijn de zijden A B , B C , C D en D A .

In vierhoek A B C D kun je ook de overstaande hoekpunten verbinden door een lijnstuk. De verbindingslijnstukken A C en B D heten de diagonalen van de vierhoek.

3
7
a

Bekijk de vier trapezia (dat is het meervoud van trapezium).

Het derde trapezium is bijzonder (dat wil zeggen: met extra evenwijdige zijden, of extra rechte hoeken, of extra even lange zijden).
Wat is de bijzondere eigenschap?
Hoe heet zo’n bijzonder trapezium?

b

Bekijk de vier parallellogrammen.

Het tweede parallellogram is bijzonder.
Wat is de bijzondere eigenschap?
Hoe heet zo’n bijzonder parallellogram?

c

Bekijk de vier parallellogrammen.

Het derde parallellogram is bijzonder.
Wat is de bijzondere eigenschap?
Hoe heet zo’n bijzonder parallellogram?

d

Bekijk de vier ruiten.

De eerste ruit is bijzonder.
Wat is de bijzondere eigenschap?
Hoe heet zo’n bijzondere ruit?

e

Bekijk de vier vliegers.

De vierde vlieger is bijzonder.
Wat is de bijzondere eigenschap?
Hoe heet zo’n bijzondere vlieger?

f

Een vierhoek hoeft niet per se iets bijzonders te hebben; hij kan dus zonder evenwijdige zijden zijn en ook zonder gelijke zijden. Zo’n vierhoek is dus geen trapezium en ook geen vlieger.
Teken een vierhoek die niets bijzonders heeft.

4
8

Teken een vlieger, een rechthoek, een parallellogram en een willekeurige vierhoek, ongeveer zoals in de figuur.

Geef de middens van de zijden aan met een stip (zoals bij de vlieger al is gebeurd).

Deze stippen zijn de hoekpunten van een vierhoek.

a

Verbind bij de vlieger de opvolgende stippen en kleur de vierhoek die je zodoende krijgt. Wat voor bijzondere vierhoek is dat?

b

Dezelfde opdracht bij de rechthoek, het parallellogram en de willekeurige vierhoek.

5
9

De getekende driehoek heeft een rechte (haakse) hoek. Op het knipblad staan twaalf kopieën van deze driehoek. Knip die twaalf driehoeken uit.

Pas steeds twee driehoeken tegen elkaar, zo dat ze of een driehoek of een vierhoek vormen. Je kunt zo zes figuren maken. Plak ze in je schrift en schrijf bij de vierhoeken wat voor bijzondere vierhoek hij is.

6
10

Bekijk de zeshoek en de twee driehoeken. Voor het gemak zijn de middelpunten aangegeven.

a

Verdeel op het werkblad de zeshoek in drie ruiten.

b

Verdeel de ene driehoek in drie vliegers.

c

Verdeel de andere driehoek in drie trapezia.

3s
7s

De bovenste vierhoek is een willekeurige (die heeft niets bijzonders), de onderste is de meest speciale vierhoek: dat is een vierkant (dat heeft alle bijzonderheden: alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn recht). Daar tussenin passen wat bijzonderheid betreft de andere vijf typen vierhoeken.

Geef de vijf bijzondere vierhoeken een plaats. Je moet dit dus zo doen: elke vierhoek van een type moet ook tot het type behoren dat daarboven staat.

4s
8s
a

Kun jij een trapezium in twee stukken knippen waarmee je een parallellogram kunt leggen?

b

Kun jij een parallellogram in twee stukken knippen waarmee je een rechthoek kunt leggen?

c

Kun jij een vlieger in drie stukken knippen waarmee je een rechthoek kunt leggen?

d

Kun jij een parallellogram in twee stukken knippen waarmee je een ruit kunt leggen?

e

Er zijn twee manieren om een rechthoek in drie stukken te knippen, waarmee je een vierkant kunt leggen. Je ziet beide manieren in de figuur.

Ga na hoe het werkt.

5s
9s

Als je Anneke vraagt om een vlieger te tekenen, of een parallellogram, of een trapezium, of een ruit, of een rechthoek, dan tekent ze altijd dezelfde figuur, namelijk het volgende plaatje:

Doet Anneke het fout?

6s
10s
a

Bij welke bijzondere vierhoeken staan de diagonalen loodrecht op elkaar?

b

Bij welke bijzondere vierhoeken delen de diagonalen elkaar middendoor?

c

Bij welke bijzondere vierhoeken zijn de diagonalen even lang?

Een vierkant vouwen

De figuur laat zien hoe je, zonder te meten, van een rechthoekig stuk papier nauwkeurig een vierkant kunt maken.

Neem een kladblaadje en maak op deze manier een vierkant.

Neem een ander blaadje en scheur er de randen af. Vouw er nu, zonder te meten, precies een vierkant van.


Peper-en-zoutstelletje

Neem een vouwblaadje. Vouw de punten naar binnen, zodat je een kleiner vierkant krijgt.
Keer het kleinere vierkant om en vouw weer de punten naar binnen, zodat je een nog kleiner vierkant krijgt.
Keer het nog kleinere vierkant om en knijp de punten naar beneden, zodat je van boven een + ziet. Nu kun je de hoeken van het oorspronkelijke vierkant naar buiten trekken: je krijgt dan een "peper-en-zoutstelletje" . Als je niet goed snapt hoe dit in zijn werk gaat, moet je het aan iemand vragen; er is beslist wel iemand die weet hoe het moet.

In Japan is het papiervouwen tot een kunst verheven: origami.
Zie bijvoorbeeld: http://www.origami.com.

Wiskunde is een typisch Nederlands woord; (wis = zeker). In andere Europese talen heet wiskunde mathematica of iets wat daarop lijkt. Dat Nederland een afwijkend woord heeft, komt door de Vlaming Simon Stevin (1548-1620); die vond dat je aan Nederlandse woorden beter de betekenis kon zien dan aan woorden die aan het Latijn waren ontleend. Door hem spreken we van evenwijdig (in plaats van parallel), van driehoek (in plaats van triangel), van meetkunde (in plaats van geometrie), enzovoort. Stevin noemde een ellips een scheefrondt, maar dat is niet overgenomen.


Opmerking:

Er is ook een online game waarmee je de (bijzondere) vierhoeken beter kunt leren herkennen: de Zukei-puzzel. Bedacht door een Japanner, vandaar de vreemde naam (Zukei betekent 'figuur'). Je kunt een soort vierhoek kiezen (rechthoek, trapezium, parallellogram, ruit, vierkant of vlieger) en dan moet je in het rooster de figuur zien te vinden door de juiste dikke roosterpunten aan te klikken. Soms nog best lastig! Zukei: zoek de figuren .

Opmerking:

Je kan nog even puzzelen met de (bijzondere) vierhoeken met de applet sleepoefening: vierhoeken ordenen .