13.4  Draaisymmetrie (1) >
Kleinste draaihoek en orde
1

Bekijk de speelkaart hartenkoning. Het plaatje is niet spiegelsymmetrisch. Toch heeft het iets regelmatigs.

a

Breng die regelmaat onder woorden.

b

Waarom worden speelkaarten zo gemaakt?

2
3

Bekijk het logo (beeldmerk) van de Nederlandse Spoorwegen.
Trek de figuur over op doorzichtig papier.

a

Draai het doorzichtige papier zó om het midden van het logo, dat de figuren weer precies op elkaar liggen.

b

Over hoeveel graden heb je moeten draaien?

2s
3s

Het jaar staat op zijn kop zongen ze in 1961 tijdens het carnaval.
In welk jaar kunnen ze dat weer zingen?

4

Bekijk de logo's van Mitsubishi en Chrysler.
Je kunt het logo van Mitsubishi draaien om het middelpunt, zodat het weer op zichzelf komt te liggen.

a

Als je het logo 360 ronddraait om het middelpunt, bijvoorbeeld rechtsom, hoe vaak ligt het dan op zichzelf, voordat het helemaal rond is?

b

Hoe groot is de kleinste draaihoek om het precies op zichzelf te laten passen? En hoe groot is de volgende draaihoek?

c

Geef alle hoeken waarover je het logo van Chrysler kunt draaien (rechtsom) zodat het weer op zichzelf ligt.

Als je het logo van Chrysler helemaal ronddraait om zijn middelpunt, ligt het bij een draaihoek van 360 voor de vijfde keer op zichzelf. We noemen het logo van Chrysler draaisymmetrisch van orde 5.

Bij draaisymmetrie beperken we ons tot één keer helemaal ronddraaien, dus tot hoeken tussen 0 en 360 .

Draaisymmetrie is minstens van orde 2. Een figuur die pas weer op zichzelf past, als je hem 360 draait, is niet draaisymmetrisch.

5

Oude kathedralen hebben soms prachtige betonnen vensters, zogenaamde roosvensters.

a

Van welke orde draaisymmetrie is dít roosvenster? Wat is de kleinste draaihoek?

Medailles zijn ook vaak draaisymmetrisch.

b

Van welke orde draaisymmetrie is deze medaille? Wat is de kleinste draaihoek? (Je moet niet letten op het lintje boven de medaille).

In applet draaiorde en aantal symmetrieassen kun je nog meer oefenen.

6

De figuur heeft drie lijnen en twee bolletjes. Neem de figuur vier keer over in je schrift. Vul de figuur aan met bolletjes tot hij orde 2 heeft, tot hij orde 3 heeft, tot hij orde 6 heeft en zodat hij geen draaisymmetrie heeft.

7
a

Als een figuur draaisymmetrisch is van orde 10 wat is dan zijn kleinste draaihoek?

b

En als hij draaisymmetrisch is van orde n ?

Draaihoek en draaipunt
8

Op de kermis staat een reuzenrad. De bel voor een nieuwe ronde is net gegaan. De mensen kunnen instappen. Dat kan alleen in het onderste schuitje. Zodra het onderste schuitje vol is, draait het rad verder tot het volgende schuitje onder is.

a

Over hoeveel graden moet het rad dan draaien?

Als er geen mensen meer instappen begint het rad te draaien. Als het eenmaal op gang is gekomen draait het regelmatig. In twee minuten is het één keer rond.

b

Hoe groot is de hoek dan die het rad in 1 seconde draait?

9

Maarten zit in de vliegtuigjes. Hij is een beetje bang en kijkt strak voor zich uit.
In het bovenaanzicht zie je wat er gebeurt als het vliegtuigje 135 verder gedraaid is. Het vliegtuigje is schematisch met een pijl weergegeven. De bovenste pijl wijst naar het oosten.

a

In welke richting wijst de gedraaide pijl? Hoeveel graden is zijn kijkrichting gedraaid?

Teken op het werkblad het beeld van de pijl bij draaiing over 200 met de klok mee.

b

Over hoeveel graden is de richting van de pijl gedraaid?

10

Pijl 2 is een klein beetje gedraaid ten opzichte van pijl 1.

a

Over hoeveel graden?

b

De auto in het plaatje gaat parkeren.
Hoe groot is de hoek waarover de auto van richting moet veranderen om te kunnen parkeren? Meet die hoek in het bovenaanzicht.

11

Bij elk van de vijf dingen staat een stip. We gaan het ding om die stip draaien.

Teken op het werkblad de positie van elk van de dingen na draaiing over 90 , 180 en 270 . Gebruik zonodig doorzichting papier.

12

Teken in je schrift twee punten A en B , op afstand 4 cm van elkaar. Bij een zekere draaiing komt punt A op punt B .

a

Zoek met de passer het draaipunt als dat 3 cm van A ligt. (Er zijn twee mogelijkheden.)

Meet hoe groot de draaihoek is.

b

Zoek het draaipunt als dat 2,5 cm van A ligt en meet de draaihoek.

c

De mogelijke draaipunten liggen op één lijn.
Teken die lijn.

d

Die lijn heeft wat met het lijnstuk A B te maken.
Hoe noem je de lijn waarop alle mogelijke draaipunten liggen?

13

Teken in je schrift twee punten A en B , op afstand 4 cm van elkaar. Bij een draaiing komt punt A op punt B terecht. De draaihoek is 80 . Het draaipunt noemen we D .

a

Wat voor speciale driehoek is driehoek A B D ?

Hoe groot zijn de hoeken van driehoek A B D ?

b

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor D ?

c

Teken beide draaipunten D .

14

We gaan het lijnstuk A B draaien om punt D over 60 , met de klok mee.

Het punt A ' waar A terecht komt ligt op de cirkel met D als middelpunt, die door A gaat.

a

Teken die cirkel op het werkblad. Bepaal nu A ' , zo dat A D A ' = 60 .

b

Teken ook het beeldpunt B ' van B .

c

Teken nu het beeldlijnstuk. Teken ook het beeldlijnstuk als je om D draait over 120 , met de klok mee.
(Voer de draaiing zo nodig uit door het lijnstuk op doorzichtig papier over te trekken en het papier met je passerpunt in het draaipunt vast te prikken.)

15

De oker vlieger kan bij verschillende draaiingen terecht komen op elk van de vliegers A , B of C .

De vliegers A , B en C hebben dezelfde stand. De oker vlieger heeft een andere stand.

(Gebruik zonodig overtrekpapier.)

a

Vergelijk deze standen. Hoe groot is de draaihoek als de oker vlieger op A komt? En op B ? En op C ? (Gebruik je geodriehoek.)

De punten waarom je de oker vlieger moet draaien om A , B en C te krijgen zijn P , Q , R of S .

b

Zeg van elke draaiing welk draaipunt ( P , Q , R of S ) er bij hoort. Gebruik eventueel overtrekpapier.

16
19

Er zijn twee pijlen getekend; pijl 1 wijst naar rechts en pijl 2 naar links. Als je pijl 1 om een zeker punt over een zekere hoek draait, krijg je pijl 2.

a

Teken op het werkblad het draaipunt.

b

Hoe groot is de draaihoek?

17
20

Er is een vlieger getekend. Er is een draaipunt D aangegeven.

a

Teken de vlieger als hij om D over een hoek van 90 met de klok mee gedraaid wordt.

b

Ook als hij over een hoek van 45 tegen de klok in gedraaid wordt.

18

Het punt D ligt op de symmetrieas van de driehoek, op halve hoogte. De figuur staat ook op het werkblad.

Teken het beeld van de driehoek bij draaiing over 90 , 180 en 270 om het draaipunt D.

16s
19s

Er zijn vier pijlen getekend. Er is een draaiing waarbij pijl 1 precies op de plaats van pijl 2 komt.

a

Zoek op het werkblad het draaipunt en de draaihoek.

Er is een draaiing waarbij pijl 3 precies op de plaats van pijl 4 komt.

b

Zoek het draaipunt en de draaihoek.

c

Waarom is er geen draaiing waarbij pijl 1 precies op de plaats van pijl 3 komt?

17s
20s

Op het werkblad is een cirkel getekend en een koorde van de cirkel; dat is een lijnstuk waarvan de eindpunten op de cirkel liggen.

a

Teken het beeld van de koorde bij draaiing over 60 om het middelpunt van de cirkel.

De koorde en zijn beeld maken vier hoeken met elkaar.

b

Bereken de grootte van elk van die vier hoeken.