19.2  De oplossing zoeken >
Het product is ...
1

Een rechthoekig terras telt 144 vierkante tegels.

a

Wat kunnen de afmetingen van het terras zijn? Schrijf alle mogelijkheden op. Werk volgens een systeem. Neem daarvoor de tabel over.

breedte

1

12

lengte

b

Wat zijn de afmetingen van het terras van 144 vierkante tegels met de kleinste omtrek?

c

Wat zijn de afmetingen van het terras van 144 vierkante tegels dat in de lengte zeven tegels meer heeft dan in de breedte?

2

Een bioscoopzaaltje heeft 91 zitplaatsen. Op elke rij zijn er evenveel zitplaatsen.
Hoeveel rijen en hoeveel zitplaatsen per rij zijn er in dat zaaltje, denk je?

3

De Maya's, een indianenstam in Midden Amerika, hadden al eeuwen geleden een hoog ontwikkelde cultuur. Zij kenden een heel andere tijdrekening dan wij. Een Maya-jaar telt een aantal maanden; elke maand heeft evenveel dagen. In totaal telt een Maya-jaar 260 dagen.
Hoeveel dagen kan een maand geteld hebben?
Geef alle mogelijkheden.

4

Anneke legt een rechthoek van precies 24 tegels.

a

Wat zijn de afmetingen van die rechthoek? Geef alle mogelijkheden.

b

Wat zijn de afmetingen van de rechthoek als Anneke 25 tegels gebruikt? En als ze 26 tegels gebruikt? En als ze 23 tegels gebruikt?

Bij 23 tegels is er maar één mogelijkheid, namelijk de flauwe manier: 1 bij 23. Met andere woorden: je kunt 23 maar op één manier schrijven als product van twee positieve gehele getallen.

5

Noem nog een paar getallen die je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen.

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal.
Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.

Voorbeeld:

In de voorgaande opgaven heb je een gegeven getal als een product van twee andere getallen moeten schrijven.
In bijvoorbeeld opgave 4 was dat 144 , in opgave 5 was dat 91 .
Het beste kun je dat systematisch in een tabel doen, zoals hieronder voor het getal 80 .

1

2

4

5

8

80

40

20

16

10

In dit schema kun je meteen zien welke getallen de delers van 80 zijn:
1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 16 , 20 , 40 en 80 .

a is deler van b als b : a een geheel getal is.
( a en b zijn positief geheel.)

Voorbeeld:

6 is een deler van 246 , want 246 = 6 82 .
7 is geen deler van 246 246 : 7 = 35 1 7 .

Een vergelijking opstellen
6

Een rechthoekige fabriekshal heeft een vloeroppervlakte van 600 m2. De lengte is 10 meter groter dan de breedte.
Noem de breedte (in meters) x .

a

Welke vergelijking geldt voor x ?

b

Welk getal is x ?

7

Een rechthoek heeft oppervlakte 24; de lengte is 5 groter dan de breedte.
Noem de breedte x .
Stel een vergelijking in x op (maak eventueel een plaatje) en bepaal x .

8

Een rechthoek heeft oppervlakte 72; de lengte is 1 groter dan de breedte.
Noem de breedte x .
Stel een vergelijking in x op en bepaal x .

9

Van een gelijkbenige rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 50 . In de driehoek ligt een rechthoek met oppervlakte 525 . De hoekpunten van de rechthoek liggen op de zijden van de driehoek.
We zoeken de hoogte en de breedte van de rechthoek. De hoogte noemen we x .

a

Toon aan: de oppervlakte van de rechthoek is: x ( 50 x ) .

b

Stel een vergelijking voor x op en bereken x .

10
11

Van twee positieve gehele getallen is het product 80; het verschil van de twee getallen is 2.
Noem het kleinste getal x .

a

Stel een vergelijking in x op en bepaal x .

Van twee positieve gehele getallen is het product 80; het verschil van de twee getallen is 11.
Noem het kleinste getal x .

b

Stel een vergelijking in x op en bepaal x .

10s
11s

Op een bingo zijn een heleboel prijzen:
één 1ste prijs van 20 euro,
twee 2de prijzen van elk 19 euro,
drie 3de prijzen van elk 18 euro,
vier 4de prijzen van elk 17 euro,
enzovoort.

a

Hoeveel prijzen zijn er van 11 euro?

b

En van x euro?

De drie prijzen van 18 euro zijn samen 54 euro waard.

c

Hoeveel euro zijn de prijzen van 11 euro samen waard?

d

En die van x euro?

e

Bepaal x , zo dat de prijzen van x euro samen 104 euro waard zijn.

12
a

Voor welk positief geheel getal x geldt: x ( x + 2 ) = 8 ?

b

Voor welk positief geheel getal x geldt: x ( x 3 ) = 40 ?

De Babyloniërs leefden rond 2000 voor Christus in het gebied dat tegenwoordig Irak heet. Zij deden ook al aan wiskunde. Ze schreven hun opgaven in spijkerschrift op kleitabletten. Daarvan zijn er veel bewaard gebleven. De opgaven gaan onder andere over vergelijkingen, zoals de volgende opgave.

13

Vind twee getallen, waarvan de som 10 is en het product 21 is.

a

Welke getallen zijn dat?

b

Noem een van de getallen x . Welke vergelijking hoort bij deze vraag?

Nog zo eentje, maar dan met grotere getallen.
We gaan twee getallen zoeken, waarvan de som 30 is en het product 216.

c

Noem een van de getallen x . Welke vergelijking hoort bij deze vraag?

d

Schrijf 216 op zo veel mogelijk manieren als product van twee positieve gehele getallen.

e

Van welke twee getallen is de som 30 en het product 216?

De Babyloniërs kenden geen negatieve getallen; die kwamen ze bij hun problemen nooit tegen. Negatieve getallen zijn pas veel later uitgevonden, namelijk in de achttiende eeuw.
Onze vergelijkingen kunnen best negatieve oplossingen hebben.

14

Als het goed is, heb je in opgave 13a de vergelijking
x ( x + 2 ) = 80 gevonden met als antwoord x = 8 . Dat is de enige positieve oplossing. Maar er is ook nog een negatieve oplossing, namelijk x = 10 . Controleer door invullen dat 10 inderdaad aan de vergelijking voldoet.

15

Bepaal ook de negatieve oplossing bij opgave 9, 10, 11 en 14.

16

Er zijn ook vergelijkingen met alleen negatieve getallen als oplossing.
Bepaal de negatieve oplossingen van de vergelijking
x ( x + 8 ) = 12 .

17
18

Bepaal van de volgende vergelijkingen beide oplossingen.
x ( x + 1 ) = 30
x ( x + 9 ) = 20
x ( x 5 ) = 4

17s
18s

Bepaal van de volgende vergelijkingen beide oplossingen. Schrijf het linkerlid in de vorm x ( ) .
x 2 + 5 x = 24
5 x 2 15 x = 350
‐3 x 2 + 12 x = 9