26.4 Vergelijkingen van lijnen opstellen >

De richtingscoëfficiënt berekenen

Neem de tekening over en teken de lijn door de punten $P (0,‐1)$ en $Q (4,2)$ .

Deze lijn noemen we $p$ . Je kunt de richtingscoëfficiënt van $p$ nu niet zo maar uit de tekening aflezen.

Neem over en vul in:
Als ik van $P$ naar $Q$ ga, ga ik ... naar rechts en ... naar boven. Dus als ik 1 naar rechts ga, moet ik ... naar boven gaan om weer op lijn $p$ te komen, dus de richtingscoëfficiënt van $p$ is ... .

Geef een vergelijking van lijn $p$ .

In het rooster zijn vijf stukjes van lijnen getekend. Elk hokje is 1 bij 1.

Bepaal van al deze lijnen de richtingscoëfficiënt.

Voorbeeld:

Een lijn gaat door de punten $A (‐1,3)$ en $B (2,‐5)$ . De lijn daalt, dus de richtingscoëfficiënt is negatief. Als je van $A$ naar $B$ gaat, moet je 3 hokjes naar rechts en 8 hokjes naar beneden.
Dus de richtingscoëfficiënt is $‐ \frac{8}{3} = ‐2 \frac{2}{3}$ .

Het snijpunt met de y-as berekenen

Een kaars brandt regelmatig op. Na 42 minuten branden is hij nog 29 cm lang, na 75 minuten is hij nog 18 cm lang.

Teken de grafiek van de kaars. Zet de tijd $t$ (in minuten) op de horizontale as $(0 \leq t \leq 100)$ en de lengte $l$ (in cm) op de verticale as $(0 \leq l \leq 50)$ .

Hoeveel cm wordt de kaars per minuut korter?
Wat is dus de richtingscoëfficiënt van de lijn?

Wat was de oorspronkelijke lengte van de kaars?

Geef een vergelijking waarin je $l$ uitdrukt in $t$ .

Waarschijnlijk heb je de beginhoogte berekend door bij de 29 cm $42 \cdot \frac{1}{3}$ op te tellen. Je kunt ook het volgende doen: De richtingscoëfficiënt van de lijn is $‐ \frac{1}{3}$ . Er is dus een getal $b$ zodat $l = ‐ \frac{1}{3} t + b$ een vergelijking van de kaars is. Je weet dat $(42,29)$ een punt van de lijn is. Dus als je voor $t$ het getal 42 invult, moet je voor $l$ het getal 29 invullen.

Je hebt:	$l = ‐ \frac{1}{3} t + b$
Invullen $t = 42$ en $l = 29$ :	$29 = ‐ \frac{1}{3} \cdot 42 + b$
Vereenvoudigen:	$29 = ‐ 14 + b$
Oplossen:	$43 = b$

In plaats van $t = 42$ en $l = 29$ had je ook in kunnen vullen $t = 75$ en $l = 18$ .

Laat op dezelfde manier als hierboven zien dat er voor $b$ weer 43 uit komt.

Teken in een assenstelsel lijn $q$ door de punten $A (‐2,‐2)$ en $B (3,2)$ . Laat de assen lopen van $‐5$ tot en met 5.

Bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn $q$ .

Er is dus een getal $b$ zodat $y = \frac{4}{5} x + b$ een vergelijking van lijn $q$ is. Het getal $b$ is de hoogte waarop de $y$ -as gesneden wordt. Dat is niet gemakkelijk af te lezen.
Je weet dat $(3,2)$ een punt van de lijn is. Dus als je voor $x$ het getal 3 invult, en voor $y$ het getal 2, moet je een gelijkheid krijgen.

Je hebt:	$y = \frac{4}{5} x + b$
Invullen het punt $(3,2)$	$2 = \frac{4}{5} \cdot 3 + b$
Vereenvoudigen	$2 = 2 \frac{2}{5} + b$
Oplossen	$‐ \frac{2}{5} = b$

Geef een vergelijking van $q$ .

In plaats van het punt $B (3,2)$ in te vullen, hadden we ook het punt $A (‐2,‐2)$ kunnen invullen in de vergelijking $y = \frac{4}{5} x + b$ .

Laat zien dat er voor $b$ weer $‐ \frac{2}{5}$ uit komt.

Op een thermometer staan vaak twee schaalverdelingen: die van Celsius en die van Fahrenheit. Wij gebruiken eigenlijk alleen maar de schaal van Celsius: in Engeland en de VS gebruikt men meestal de schaal van Fahrenheit.
Het verband tussen graden Celsius en graden Fahrenheit is lineair. Dat heb je gezien in hoofdstuk 23.
$‐40 °$ C komt overeen met $‐40 °$ F; $100 °$ C komt overeen met $212 °$ F.
Het aantal graden Celsius korten we af met $c$ , het aantal graden Fahrenheit korten we af met $f$ .

Teken de grafiek. Zet $f$ horizontaal en $c$ verticaal.

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn.

Geef een vergelijking van de lijn.

Een lijn gaat door de punten $A (‐1,3)$ en $B (3,‐3)$ .
Maak eerst een schets hoe de punten ten opzichte van elkaar liggen; zie figuur.
Als ik van $A$ naar $B$ ga, moet ik 4 naar rechts en 6 naar beneden; de richtingscoëfficiënt is dus negatief!
De richtingscoëfficiënt is $‐ \frac{6}{4} = ‐1 \frac{1}{2}$ .
Een vergelijking ziet er zo uit: $y = ‐1 \frac{1}{2} x + b$ .
De lijn gaat door $A$ , dus $(‐1,3)$ voldoet aan de vergelijking:

$y = ‐1 \frac{1}{2} x + b$
$3 = ‐1 \frac{1}{2} \cdot ‐1 + b$	Invullen $(‐1,3)$
$3 = 1 \frac{1}{2} + b$
$1 \frac{1}{2} = b$

Een vergelijking van de lijn is: $y = ‐1 \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}$ .

In het assenstelsel zijn de punten $A$ , $B$ $C$ en $D$ getekend. De lijn door de punten $A$ en $B$ noemen we lijn $A B$ .

Neem de figuur over en teken lijn $A B$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt van lijn $A B$ ?

Geef de coördinaten van het snijpunt van lijn $A B$ met de $y$ -as.

Geef een vergelijking van lijn $A B$ .

Teken ook de lijnen $A C$ , $B C$ en $C D$ .

Geef vergelijkingen van de lijnen $A C$ , $B C$ en $C D$ .

Geef van elk van de volgende lijnen een vergelijking: (teken zo nodig de lijn in een assenstelsel.)

$p$ : de lijn door $(1,1)$ en $(3,5)$
$q$ : de lijn door $(‐1,3)$ en $(7,‐1)$
$r$ : de lijn door $(3,2)$ en $(‐1,1)$
$s$ : de lijn door $(1,2)$ en $(5,2)$
$t$ : de lijn door $(2,5)$ en $(2,‐1)$

De laatste lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Als je de richtingscoëfficiënt probeert te bepalen volgens de methode in het voorbeeld op de vorige bladzijde, moet je delen door 0 en dat gaat niet.
$t$ is een verticale lijn; een vergelijking is: $x = 2$ , zie de vorige paragraaf.

Hieronder staan twee tabellen. Kunnen dit tabellen van rechte lijnen zijn? Waarom (niet)?

$x$	3	9	30
$y$	4	6	13

$x$	2	5	7
$y$	4	$‐ 2$	$‐ 5$

Bij de waterleidingmaatschappij betaal je per m³ water € 1,50 (inclusief gemeentelijke heffingen). Het vastrecht bedraagt € 15,- per maand, (inclusief heffingen voor het waterschap).
Het bedrag $B$ (in euro’s) dat een gezin voor zijn waterverbruik per maand moet betalen, hangt af van $w$ , het aantal m³ water dat het per maand gebruikt.

Neem de tabel over en vul hem in.

$w$	0	5	15	25	$w$
$B$					$B = ... \cdot w + ...$

Teken de grafiek. Zet $w$ horizontaal en $B$ verticaal.

De grafiek die je getekend hebt, is een rechte lijn.

Wat is de betekenis van de richtingscoëfficiënt?
En van de tweede coördinaat van het snijpunt met de $y$ -as?

Peter en Ton zijn uitgegaan in Nijmegen. Allebei nemen ze een taxi naar huis. Ton moet naar Bemmel. Voor die rit van 7 km betaalt hij € 16,30. Peter moet naar Doornenburg. Dat is een afstand van 19 km. De kosten zijn € 39,70.

Teken de lijn door deze twee punten. Zet het bedrag $B$ (in euro’s) op de verticale as en het aantal kilometers $k$ op de horizontale as.

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn.
Wat is de betekenis van de richtingscoëfficiënt?

Hoe groot is de tweede coördinaat van het snijpunt met de $B$ -as en wat is de betekenis ervan?

Geef een vergelijking waarin je $B$ uitdrukt in $k$ .

Familie de Vries gaat op vakantie. Er is alleen nog niet beslist waarheen. Het wordt Frankrijk of Indonesië. Wat zo'n vakantie gaat kosten hangt af van het aantal dagen dat ze in het vakantieland doorbrengen.
De reiskosten naar Frankrijk zijn € 800,-. De reiskosten naar Indonesië zijn € 4300,-. De verblijfkosten in Frankrijk zijn € 300,- per dag. In Indonesië zijn die veel lager: slechts € 50,- per dag.

Teken voor elk geval de aantal-dagen-kostengrafiek.
Zet het aantal dagen langs de horizontale as (5 dagen = 2 cm) en de kosten langs de verticale as ( € 1000,- = 1 cm). Geef aan welke grafiek bij welke bestemming hoort.

Lees uit de grafiek af bij welk aantal dagen de kosten in beide landen even groot zijn.

We gaan dit aantal dagen met behulp van een vergelijking berekenen. Stel dat dat aantal $d$ dagen is.

Welke vergelijking kun je opstellen om dat aantal dagen $d$ te berekenen?.

Los die vergelijking op.

Wat kost de vakantie bij dat aantal dagen in beide landen?

10s

12s

Een gasfles wordt gevuld. Als er 4 liter gas in de fles zit, weegt hij $9 \frac{1}{2}$ kg. Als de fles vol is, zit er 10 liter gas in en weegt hij $12 \frac{1}{2}$ kg.
De hoeveelheid gas in de fles noemen we $x$ en het totale gewicht $y$ .

Druk $y$ uit in $x$ .

De grafiek van het verband tussen $y$ (op de verticale as) en $x$ (op de horizontale as) is een rechte lijn.

Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van de lijn en wat is de betekenis ervan?
Hoe groot is de tweede coördinaat van het snijpunt met de $y$ -as en wat is de betekenis ervan?

Op een gegeven moment weegt de fles nog $8 \frac{1}{4}$ kg.

Hoeveel liter gas zit er dan in de fles?

11s

13s

De vader van Jarno wil een auto huren. Op internet heeft Jarno twee aanbiedingen voor hem gevonden.

Een Volkswagen Sharan kost € 77,- per dag, inclusief 100 km rijden. Elke extra km kost 22 cent.
Een Honda Stream kost € 74,- per dag, inclusief 100 km rijden. Elke extra kilometer kost 25 cent.

In de grafiek zijn de bedragen die je moet betalen uitgezet tegen het aantal extra kilometers voor beide aanbiedingen. We gaan het break even point berekenen: het aantal extra kilometers waarbij beide aanbiedingen even duur zijn. Dat ligt zo te zien ergens tussen de 75 en 125 km.
Noem het aantal extra km $a$ .

Stel een vergelijking op en bereken hiermee het break even point?