27.6  Speciale driehoeken >
De 30-60-90-graden driehoek

Driehoek A B C heeft hoeken van 30 , 60 en 90 graden. Met nog zo’n exemplaar, kun je een regelmatige driehoek A D C maken.
We noemen een 30 ‐ 60 ‐ 90 -graden driehoek daarom ook wel een halve regelmatige driehoek.

1

Neem aan dat A C lengte 2 heeft.

a

Wat is dan de lengte van A B ? Waarom?

b

Bereken ook de exacte lengte van B C , schrijf je antwoord met een    -teken.

We bekijken nu een 30 60 90 graden driehoek waarvan de korte rechthoekszijde 8 is.
Deze driehoek is een vergroting van de driehoek hierboven.

c

Wat zijn dus de lengtes van de andere zijden?
Gebruik gelijkvormigheid.

Je kunt de lange rechthoekszijde ook met de stelling van Pythagoras uitrekenen. Je vindt dan: 16 2 8 2 = 192 .

d

Laat zonder rekenmachine zien dat dit antwoord hetzelfde is als dat in het vorige onderdeel.

De 45-45-90-graden driehoek

Driehoek A B C heeft hoeken van 45 , 45 en 90 graden. Met nog zo’n exemplaar, kun je een vierkant leggen. We noemen een 45 ‐ 45 ‐ 90 -graden driehoek daarom ook wel een half vierkant.

2

Neem aan dat A B = 1 .

a

Hoe weet je zeker dat A C ook 1 is?
Bereken B C exact.

Van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde 10 . De andere rechthoekszijde is dan ook 10 . De schuine zijde kun je op twee manieren uitrekenen: met gelijkvormigheid en met de stelling van Pythagoras.

b

Laat zien dat de antwoorden die je krijgt, hetzelfde zijn.

In een 30 60 90 -graden-driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als 1 : 3 : 2 .


In een 45 45 90 -graden-driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als 1 : 1 : 2 .

Werken met de speciale rechthoekige driehoeken
3

Bereken de andere zijden van 30 60 90 -graden-driehoek exact als (vereenvoudig de wortelvormen):

a

de schuine zijde 10 is,

b

de lange rechthoekszijde 6 is,

c

de lange rechthoekszijde 2 is,

d

de korte rechthoekszijde 3 is.

4

In driehoek A B C is A C = 6 cm, C A B = 60 ° en C B A = 45 ° .

a

Teken driehoek A B C .
Schrijf op hoe je dat gedaan hebt.

b

Bereken de andere zijden van driehoek A B C . Vereenvoudig de wortelvormen.

(hint)
Teken de hoogtelijn uit C .

Het volgende staat in hoofdstuk 24 Goniometrie.

sin ( α ) = overstaande rechthoekszijde schuine zijde = a c

cos ( α ) = aanliggende rechthoekszijde schuine zijde = b c

tan ( α ) = overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde zijde = a b

5

Neem in driehoek A B C hierboven a = 1 en c = 2 .

a

Wat is dan b exact en hoe groot zijn de hoeken α en β exact? Verklaar je antwoorden.

b

Bepaal sin ( 30 ° ) , cos ( 30 ° ) en tan ( 30 ° ) exact.
Vereenvoudig zo nodig de wortelvormen.

c

Bepaal sin( 60 ° ) , cos( 60 ° ) en tan( 60 ° ) exact.
Vereenvoudig zo nodig de wortelvormen.

Neem nu in driehoek A B C hierboven voor a en b beide 1 .

d

Wat is dan c exact en hoe groot zijn de hoeken α en β exact? Verklaar je antwoorden.

e

Bepaal sin ( 45 ° ) , cos ( 45 ° ) en tan ( 45 ° ) exact.
Vereenvoudig zo nodig de wortelvormen.

Opmerking:

We vatten de resultaten van de vorige opgave samen in een tabel.

6

Vierkant A B C D heeft zijden van lengte 6. De punten P en Q liggen op de zijden van het vierkant zó, dat de hoeken A B P en Q B C beide 30 ° zijn.

a

Bereken A P en B P exact. Vereenvoudig de wortels.

b

Bereken de oppervlakte van de gekleurde vlieger exact.
Vereenvoudig de wortels.



R ligt op zijde C D zó, dat P R en B Q loodrecht op elkaar staan.

c

Bereken Q R exact. Vereenvoudig de wortels.