Afstanden op de getallenlijn

De heren Kuier en Verstappen wonen allebei aan de Kanaaldijk. Kuier bij hectometerbordje 6,7 en Verstappen bij bordje 11,4. Bij bordje 9,6 staat café ‘t Trefpunt, waar Kuier en Verstappen elkaar regelmatig treffen.

Hoe ver woont Kuier van het café? En hoe ver Verstappen?

Wat is de afstand op de getallenlijn van $‐ 5$ en $‐ 3$ ?
En van $‐ 3$ en 1?
En van 1 en 4?

Welke twee getallen liggen op afstand 4 van $‐ 3$ ?

De afstand van een getal $x$ tot $‐ 3$ op de getallenlijn is groter dan 2 en kleiner dan 5.

Neem de getallenlijn over en kleur het gebied waar $x$ kan liggen.

Om de afstand van $‐ 3$ en 4 uit te rekenen, moet je $‐ 3$ van 4 aftrekken: $4 - (‐ 3) = 7$ . De afstand van 2 tot $\sqrt{5}$ op de getallenlijn is $\sqrt{5} - 2$ en niet $2 - \sqrt{5}$ .

Schrijf de afstand van $\sqrt{5}$ en 7, van $\sqrt{5}$ en $‐ 7$ en van $‐ 7$ en $‐ \sqrt{5}$ op.

Om de afstand van $x$ en 4 op de getallenlijn op te schrijven moeten we twee gevallen onderscheiden.

Neem over en vul uitdrukkingen in $x$ in.
Als $x > 4$ , dan is de afstand van $x$ tot 4 .........
Als $x < 4$ , dan is de afstand van $x$ tot 4 .........

Voor getallen $a$ en $b$ op de getallenlijn geldt:
de afstand van $a$ tot $b$ is:
$a - b$ als $a > b$ ,
$b - a$ als $a < b$ .

Neem over en vul in.

Als $x > 0$ , dan is de afstand van $x$ tot 0 .........
Als $x < 0$ , dan is de afstand van $x$ tot 0 .........

De vergelijking van een cirkel met middelpunt

(0,0)

In een assenstelsel zijn vijf roosterpunten getekend.

Bereken met de stelling van Pythagoras de afstand van $A$ tot de oorsprong $O (0,0)$ .

Laat zien dat $A$ , $B$ , $C$ , $D$ en $E$ alle even ver van de oorsprong $O$ afliggen.

Wat krijg je als je alle punten tekent die op afstand $\sqrt{50}$ van $O$ afliggen?

Er zijn vier plaatjes getekend, met telkens een punt $(x, y)$ in een andere positie ten opzichte van de oorsprong $O$ .

De afstand van $(x, y)$ tot de oorsprong noemen we $r$ . Bij de driehoek linksboven is $x$ negatief en $y$ positief, dus de lengten van de rechthoekszijden zijn: $‐ x$ en $y$ .
Er geldt dus: ${(‐ x)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

Schrijf op je werkblad bij de onderste twee plaatjes de lengtes van de rechthoekszijden. (Dus: $x$ , $‐ x$ , $y$ of $‐ y$ ).

Leg uit (met de stelling van Pythagoras) dat je in alle vier de gevallen het verband $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ krijgt.

De cirkel met straal $r$ en middelpunt $O$ heeft als vergelijking: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

Voorbeeld
De punten die afstand $\sqrt{50}$ tot $O$ hebben (zie opgave 19) vormen een cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 50$ .

Neem het rooster over en teken $P (‐ 2,4)$ .

$C$ is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 20$ .

Laat zien dat $P$ aan de vergelijking van $C$ voldoet.
Wat is de straal van $C$ ?

Teken de cirkel.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $C$ met de $x$ -as.

Neem het rooster over en teken twee cirkels met $O$ als middelpunt. Het punt $(2,2)$ ligt op de ene cirkel en $(‐ 3,4)$ op de andere.

Geef van beide cirkels een vergelijking.

$C$ is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Wat is de straal van $C$ ?

Neem het rooster over en teken $C$ .

Geef zes roosterpunten die op $C$ liggen.

$k$ is de lijn met vergelijking $y = x$ .

Teken $k$ in het rooster erbij.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ met $C$ .

$m$ is de lijn met vergelijking $y = x + 1$ .

Teken $m$ in het rooster erbij.

De snijpunten van $m$ en $C$ kun je zo aflezen. Je kunt ze ook berekenen. Hoe dat gaat, zie je in het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld
De eerste coördinaat van een snijpunt noemen we $a$ . Omdat het snijpunt op $m$ ligt, kunnen we zeggen: de tweede coördinaat is $a + 1$ .
Dus $(a, a + 1)$ is het snijpunt. Omdat $(a, a + 1)$ op $C$ ligt geldt: $a^{2} + {(a + 1)}^{2} = 25$ .

Los deze vergelijking in $a$ op en schrijf de coördinaten van de snijpunten op.

$n$ is de lijn met vergelijking $y = 2 x + 5$ .

Teken $n$ in het rooster erbij.

Bereken met een vergelijking de snijpunten van $n$ met $C$ .

Er is precies één punt dat aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 0$ voldoet.

Welk?

Hoeveel punten voldoen aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} = ‐ 4$ ?

De grafiek bij de vergelijking $x^{2} + y^{2} = c$ is:

een cirkel met straal $\sqrt{c}$ als $c > 0$ ,
het punt $O (0,0)$ als $c = 0$ ,
helemaal niets als $c < 0$ .

De vergelijking van een cirkel met middelpunt

(a, b)

Neem het rooster over en teken de punten $A (‐ 4, ‐ 1)$ , $B (2,3)$ en $C (2, ‐ 1)$ .

Wat is de afstand van $A$ tot $C$ ? En van $B$ tot $C$ ?

Wat is de afstand van $(‐ 101,2)$ tot $(87,2)$ ?

Wat is de afstand van $(a,2)$ tot $(b,2)$ als $a > b$ ? Geef een uitdrukking in $a$ en $b$ . (Zie opgave 18.)
En als $a < b$ ?

Hier zie je vier keer de cirkel met middelpunt $M (2, ‐ 1)$ en straal $\sqrt{13}$ getekend. Telkens is ook een punt $P (x, y)$ op de cirkel aangegeven en daarbij een rechthoekige driehoek getekend. De positie van het punt ten opzichte van $M$ is steeds anders.

In het plaatje linksboven is $y > ‐ 1$ , dus de verticale rechthoekszijde is $y - ‐ 1 = y + 1$ . De horizontale rechthoekszijde is $2 - x$ , want $x < 2$ .

Schrijf op je werkblad in de andere gevallen de lengtes van de rechthoekszijden op, uitgedrukt in $x$ of $y$ .

In het plaatje linksboven geldt: ${(2 - x)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 13$ .

Waarom geldt: ${(2 - x)}^{2} = {(x - 2)}^{2}$ voor elke waarde van $x$ ?

In alle vier de gevallen volgt met behulp van de stelling van Pythagoras: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 13$ .
Dit is de vergelijking van de cirkel met als middelpunt $(2, ‐ 1)$ en straal $\sqrt{13}$ .

In het assenstelsel is die cirkel getekend.

Neem de figuur over en teken daarin de lijn $x = 3$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn en de cirkel.

Bereken ook de coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de $x$ -as. (Laat de wortels in je antwoord staan.)

Teken in een assenstelsel de cirkel met middelpunt $M (‐ 3,1)$ en straal 3.

Kies een punt op de cirkel dat rechts onder $M$ ligt en geef het aan met $P (x, y)$ .

Teken een rechthoekige driehoek met $P$ en $M$ als hoekpunten. Doe het zo dat de rechthoekszijden evenwijdig met roosterlijnen zijn.

Druk de lengte van elke rechthoekszijde in $x$ en $y$ uit.

Schrijf met behulp van de stelling van Pythagoras een verband tussen $x$ en $y$ op.

In het plaatje staan vier cirkels met hun middelpunt getekend. Op elke cirkel is een punt aangegeven.

Geef van elke cirkel een vergelijking.

De cirkel met straal $r$ en middelpunt $(a, b)$ heeft als vergelijking: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Teken in een assenstelsel de cirkels met vergelijking:

${(x - 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ ,
${(x + 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ ,
${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ ,
${(x - 7)}^{2} + y^{2} = 5$ .

$C$ is de cirkel met vergelijking ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ .
$k$ is de lijn met vergelijking $y = x + 2$ .

Teken $C$ en $k$ in een assenstelsel.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ en $C$ . (Als je niet weet hoe je dat aan moet pakken, kijk dan nog eens naar opgave 23.)

De vergelijking ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ noemen we de middelpuntsvorm van $C$ . Uit de vergelijking kun je het middelpunt en de straal van de cirkel onmiddellijk aflezen.

Werk de haakjes weg in ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ en schrijf zo eenvoudig mogelijk.

Uit de vergelijking die je nu hebt, kun je niet meteen de straal en het middelpunt van de cirkel aflezen.

De grafiek van de vergelijking $x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y = 39$ stelt een cirkel voor. We zoeken de middelpuntsvorm.

Splits het kwadraat af van $x^{2} + 10 x$ .
En van $y^{2} - 12 y$ .

Schrijf met behulp van de twee antwoorden $x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y = 39$ in de middelpuntsvorm.

Wat is het middelpunt en wat is de straal?

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 5 y + 8 = 0$ is de vergelijking van een cirkel.

Bepaal het middelpunt en de straal.