kwadraatafsplitsen

Uit onderstaande plaatjes volgt:

$x^{2} + 6 x$	$=$	${(x + 3)}^{2}$ $-$ $9$
oppervlakte		oppervlakte oppervlakte
L-vorm		grote vierkant oker vierkant

$x^{2} + 6 x$ vervangen door ${(x + 3)}^{2} - 9$ noemen we kwadraatafsplitsen.

Voorbeelden
$x^{2} - 10 x = {(x - 5)}^{2} - 25$
$x^{2} + 7 x = {(x + 3 \frac{1}{2})}^{2} - 12 \frac{1}{4}$

vierkantsvergelijkingen oplossen

Vierkantsvergelijkingen kun je oplossen door ontbinden in factoren of kwadraatafsplitsen.

Voorbeeld
Los op:

$x^{2} + 35 = 12 x$	op 0 herleiden
$x^{2} - 12 x + 35 = 0$	ontbinden in factoren
$(x - 7) (x - 5) = 0$
$x = 7$ of $x = 5$

Voorbeeld
Los op:

$x^{2} + 12 x = 9$	kwadraatafsplitsen
${(x + 6)}^{2} - 36 = 9$	PLUS 36
${(x + 6)}^{2} = 45$
$x + 6 = \sqrt{45}$ of $x + 6 = ‐ \sqrt{45}$
$x = ‐ 6 + 3 \sqrt{5}$ of $x = ‐ 6 - 3 \sqrt{5}$

Voorbeeld
Los op:

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$	kwadraatafsplitsen
${(x - 1 \frac{1}{2})}^{2} - 2 \frac{1}{4} - 4 = 0$	PLUS $6 \frac{1}{4}$
${(x - 1 \frac{1}{2})}^{2} = 6 \frac{1}{4}$
$x - 1 \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}$ of $x - 1 \frac{1}{2} = ‐ 2 \frac{1}{2}$
$x = 4$ of $x = ‐ 1$

kruislings vermenigvuldigen

We weten dat $\frac{p}{q} \cdot q = p$ en $\frac{p}{q} \cdot r = \frac{p r}{q}$ .
Hieruit volgt: als $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ dan $a d = b c$ .
Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

Voorbeeld
De vergelijking $\frac{2}{2 - x} = \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x}$ lossen we op met kruislings vermenigvuldigen.

$\frac{2}{2 - x} = \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x}$	kruislings vermenigvuldigen
$2 (x^{2} - 2 x) = (2 - x) (x - 3)$	haakjes uitwerken
$2 x^{2} - 4 x = ‐ x^{2} + 5 x - 6$	op 0 herleiden
$3 x^{2} - 9 x + 6 = 0$	delen door 3
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$	ontbinden
$(x - 1) (x - 2) = 0$
$x = 1$ of $x = 2$

Maar $x = 2$ voldoet niet (delen door 0).

cirkels

De cirkel met straal $r$ en middelpunt $(a, b)$ heeft als vergelijking: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .
We noemen de vergelijking ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ de middelpuntsvorm van de cirkel.

Als $a = b = 0$ , dan krijg je de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .
Het middelpunt van deze cirkel ligt in de oorsprong $O (0,0)$ .

Voorbeeld
Met behulp van kwadraatafsplitsen bepalen we het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 12$ .
${(x + 3)}^{2} - 9 + {(y - 2)}^{2} - 4 = 12$
${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$
Dus het middelpunt is $(‐ 3,2)$ en de straal 5.

Voorbeeld
Door invullen bepalen we de coördinaten van het snijpunt van de lijn $y = x + 2$ met de cirkel $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ .
$x^{2} + {(x + 2)}^{2} + 2 x - 4 (x + 2) = 0$
$2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$
$x^{2} + x - 2 = 0$
$(x + 2) (x - 1) = 0$

$x = ‐ 2$	of	$x = 1$
$y = ‐ 2 + 2 = 0$		$y = 1 + 2 = 3$

De snijpunten zijn

(‐ 2,0)

(1,3)