In het Franse departement Haute Savoie ligt, ergens tussen de bergdorpen Morzine
en Samoëns, de meter hoge Col de Joux-Plane, bekend uit de Tour de France. Behalve de vele wandelpaden
naar de top is er ook een geasfalteerde weg over de top die Samoëns en Morzine verbindt.
Deze weg is ontoegankelijk in de winter vanwege de sneeuw; de Fransen spreken van
een "route d'été".
Hieronder is een plaatje van de route getekend, waarin de hoogte (altitude) kan
worden afgelezen na km horizontaal, na km, na km, enz. Bovendien is bij elk stukje van km horizontaal aangegeven hoe steil de weg daar is. Hoe steiler de weg, hoe groter
het "steiltegetal".
Voorbeeld: na km horizontaal van Samoëns is de hoogte m, na km is de hoogte m, daartussen is het steiltegetal .
Heb je enig idee hoe dit steiltegetal is berekend?
Reken na dat het steiltegetal tussen en km na Samoëns klopt met de hoogtes bij dat stuk weg.
Bij drie stukjes van km zijn geen steiltegetallen vermeld.
Waarom is dat daar niet gedaan, denk je?
De steiltegetallen bij de route over de Col de Joux-Plane worden
hellingspercentages
genoemd.
Zo betekent een hellingspercentage van % dat de weg per meter horizontaal een stijging van meter heeft.
Bekijk opnieuw het plaatje van de Col de Joux-Plane.
Hoeveel procent is de helling ongeveer van het laatste stukje naar de top ( meter hoog), komend vanuit Samoëns?
Stel je voor dat de weg van Samoëns naar de top overal even steil zou zijn. Hoe groot zou dan het hellingspercentage van de weg zijn?
Een wandelaar ziet aan de voet van een heuvel het nevenstaande waarschuwingsbord. De weg is km lang. Hij rekent uit dat de heuvel meter hoog is.
Hoe heeft de wandelaar dit berekend?
Waarom is het zeer onwaarschijnlijk dat hij gelijk heeft?
De steilte van een helling kan ook worden aangegeven met de hellingshoek in graden. Dat is de hoek die de helling maakt met een horizontaal vlak.
Let op het verschil tussen graden en procenten.
Maak een tekening op schaal van een helling met een hellingshoek van en ook van een helling met een hellingspercentage van %.
Welke is steiler: een helling met een hellingshoek van of een helling met een hellingspercentage van %?
Hoe groot is de hellingshoek bij een hellingspercentage van %?
Van een oprit ligt het eindpunt m hoger dan het beginpunt.
Bereken het hellingspercentage en de hellingshoek als de oprit horizontaal gemeten meter lang is.
Bereken de hellingshoek als het hellingspercentage % is.
Als we van een helling het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt weten en ook
de horizontale afstand, dan bepalen we het
hellingspercentage
als volgt:
%. |
tan(α)%. |
Dus:
hellingshoek is
hellingspercentage is tan% %
hellingspercentage is %
tan(hellingshoek)
hellingshoek
Zie je de overeenkomst tussen de berekening van het hellingspercentage van een helling en de richtingscoëfficiënt van een lijn?
Een skilift moet over een horizontale afstand van meter een hoogte van meter overwinnen. De kabel waarlangs de lift beweegt gaat overal even steil omhoog. (De doorbuiging die er in werkelijkheid wel is, verwaarlozen wij in deze opgave.)
Bereken de lengte van de kabel.
Bereken de hellingshoek van de kabel.
Bereken het hellingspercentage.
Vliegtuigen proberen snel na de start hoogte te winnen.
Waarom is het belangrijk dat vliegtuigen een groot liftvermogen hebben?
Hoe groot is de stijghoek van het vliegtuig in de figuur ongeveer?
Bereken hoe groot de horizontale afstand is die het per minuut aflegt, als het vliegtuig meter per minuut stijgt.
Bereken hoe groot dan de "schuine" afstand is die het per minuut aflegt.
Een vliegtuig waarvan de stijghoek half zo groot is, stijgt per minuut: meter, meer dan meter of minder dan meter.
Ga met een berekening na wat het juiste antwoord is.
Herhaling derde klas
Bij vraag 34d heb je waarschijnlijk bij het berekenen van de "schuine" afstand de stelling van
Pythagoras gebruikt.
Maar je hebt in de derde klas geleerd dat dit ook kan met de sinus en de cosinus:
Algemeen:
sin(α) |
cos(α)
|
Bereken (met de sinus of de cosinus) hoe groot de "schuine afstand" is die dit vliegtuig per minuut aflegt als het stijgt met meter per minuut.
Bereken (met de sinus of de cosinus) hoe groot de horizontale afstand is die dit vliegtuig per minuut aflegt als de schuine afstand met meter per minuut toeneemt.
We bekijken het nevenstaande waarschuwingsbord aan de voet van een heuvel. De weg is langs de weg gemeten km lang.
Bereken afgerond op 2 decimalen de hellingshoek.
Bereken in meters nauwkeurig (met de sinus of de cosinus) de hoogte van de
heuvel.
Let op: gebruik het onafgeronde antwoord van vraag b.
Een trap bestaat uit treden. Het horizontale stuk heet de "aantrede", het verticale stuk heet de "optrede". Het hangt van de verhouding tussen de aantrede en de optrede af hoe steil de trap is.
Wat is de verhouding tussen de aantrede en de optrede?
Een zoldertrap met treden overbrugt meter hoogteverschil. Wegens ruimtegebrek is de trap nogal steil: de hellingshoek is .
Bereken de aantrede van de trap. Geef je antwoord afgerond op hele millimeters.